آشنایی با کتابهای آنالیز ریاضی

آشنایی با کتابهای آنالیز ریاضی

نام کتاب

نویسنده و مترجم

چکیده کتاب

ناشر

اصول آنالیز ریاضی

	نویسنده: والتر رودین مترجم: دکتر علی اکبر عالم زاده

کتاب اصول آنالیز ریاضی والتر رودین شهره ی آفاق است. هر کجا دانشگاهی هست و ریاضیاتی، این کتاب و مولف آن مطرح اند. اهل فن این کتاب را بهترین کتاب آنالیز می دانند. این کتاب متنی است برای درس آنالیز و معمولا" به دانشجویان پیشرفته ی دوره ی لیسانس و یا دانشجویان سال اول فوق لیسانس ریاضی پیشنهاد می شود. چاپ اول آنالیز رودین در ایران در سال 1362 صورت گرفته است. در چاپ های بعدی مطالب مربوط به توابع چند متغیره تقریبا" به طور کامل، با توضیحات بیشتر، مثال های افزون تر و انگیزه ی زیادتر، باز نویسی شده اند. برهان قضیه ی تابع معکوس، مطلب مشکل گشای فصل9 ( توابع چند متغیره )، به وسیله ی قضیه ی نقطه ی ثابت درباره ی نگاشت های انقباض، ساده گشته است، فرم های دیفرانسیل به طرز مبسوط تری مورد بحث قرار گرفته اند. چند کاربرد قضیه ی استوکس نیز گنجانده شده اند. شایان ذکر است که کتاب فوق، در 1362، کتاب سال جمهوری اسلامی ایران در رشته ی ریاضی بوده است

انتشاموسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف سال 1372 رات علمی و فنی

آنالیز ریاضی

نویسنده: تام م. اپوستل مترجم: دکتر علی اکبر عالم زاده

یکی از مشهورترین کتاب های آنالیز سال های اخیر، کتاب آنالیز ریاضی، نوشته ی تام م. اپوستل می باشد. این کتاب درسی مباحث آنالیز را در سطح حساب دیفرانسیل و انتگرال عالی مورد بحث قرار داده است و در آن، موضوع به صورت صحیح، دقیق، امروزی، و در عین حال نه چندان غیر عملی، عرضه گشته و راهی را از حساب دیفرانسیل و انتگرال مقدماتی به دوره های عالی در نظریه ی تابع های حقیقی و مختلط می گشاید و خواننده را با برخی از تفکرات انتزاعی، که در آنالیز نوین متداول است آشنا می سازد.در این کتاب، توپولوژی مجموعه های نقطه ای در محدوده ی فضاهای متری کلی به همان گونه ی فضای n- بعدی اقلیدسی عرضه شده و افزون بر آن دو فصل درباره ی انتگرال گیری لبگ به روش ریس_ناگی وجود دارد که مستقیما" به تابع ها و انتگرال های آن ها توجه شده و از نظریه ی اندازه ها مستقل است. این کتاب در دوره های ریاضیات، در سطوح مختلفی به کار می رود و از آن هم به عنوان یک کتاب درسی و هم به عنوان یک کتاب مرجع تکمیلی استفاده می شود. از فصل های 1 تا 5 و 12 و 13 می توان درسی در حساب دیفرانسیل تابع های یک یا چند متغیره و از فصل های 6 تا 11 و 14 و 15 درسی در نظریه ی انتگرال گیری فراهم ساخت

موسسه انتشارات امیر کبیر، سال 1380

آنالیز ریاضی

نویسنده: دکتر غلامحسین مصاحب

هدف این کتاب آماده کردن محصلین برای تحصیل آنالیز ریاضی است ولی به سبب روش تالیفش که مبتنی بر روش های تعلیمی این عصر در ریاضیات است و ریاضیات جدید الهام بخش آن بوده است، پایه تحصیلی مناسبی برای هر رشته ی دیگر این علم می باشد. در دو مقاله تنظیم شده: مقاله ی اول در مقدمات عمومی و شامل بخش هایی با عناوین: آشنایی با مقدمات، آشنایی با مجموعه ها و نسبت، و مقاله ی دوم در تئوری اعداد حقیقی دارای فصول: اصول موضوعه ی اعداد حقیقی، نتایج اصول موضوعه ی میدان مرتب، اصل موضوع تمامیت، حدود رشته ها، سلسله ها و عدد نویسی و محاسبه. ضمنا" در کتاب مذکور علاوه بر فصل های یاد شده، مباحث گرانقدری راجع به زبان منطق، متمم مبحث مجموعه ها و نسب، ترکیبات، حدود اعلی و اسفل رشته ها، نامساوی های مهم و میدان اعداد مختلط نیز وجود دارد

انتشارات آستان قدس رضوی، سال 1369

آشنایی با آنالیز ریاضی

نویسندگان: ویلیام ر. پارزینسکی - فیلیپ و. زیپس ، مترجم: سید محمود طالبیان

این کتاب برای خوانندگانی در نظر گرفته شده است که قبلا" هیچ بسط نظری و دقیقی از حساب دیفرانسیل و انتگرال را ندیده اند، همچنین مثال های روشنگرانه ی متعددی با توضیحات تفصیلی در آن گنجانده شده است. در فصل های اولیه بعضی از اثبات ها به طرزی توصیفی آمده اند، لذا بصیرت بیشتری در شناخت ساختمان استدلال های ریاضی فراهم و به بسط مهارت های به کار رفته در اثبات گزاره ها در ریاضیات کمک می کند. اکثر تمرینات توانایی محصل در استفاده از روش ها و فنون به کار رفته در متن را طلب می کنند و حل تمرینات باعث ایجاد ادراکی عمیق تر و دقیق تر از قضایا و اثبات آن ها می شود. کتاب فوق الذکر شامل مباحثی از جمله بسط دستگاه اعداد حقیقی، دنباله ها و مجموعه ها، توابع مشتق پذیر، انتگرال ریمان و دنباله ها و سری های توابع است.

انتشارات ققنوس، سال 1379

آنالیز عددی

نویسندگان: ریچارد ال. بوردن - ج. دوگلاس فیرز - آلبرت سی. رینولدز ، مترجمان: علی اکبر عالم زاده - اسماعیل بابلیان - محمدرضا امیدوار

خوانندگان این کتاب عمدتا" دانشجویان سال سوم علوم و مهندسی اند که مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال را دیده و از یک زبان برنامه نویسی سطح بالا، عموما" فرترن، اطلاع دارند. دانستن مبانی نظریه ی ماتریس ها و معادلات دیفرانسیل در بخش های بعدی کتاب مفیدند، لیکن، برای بی نیازی از آنها، به عنوان پیشنیاز مطالب مقدماتی به حد کافی گنجانده شده است. همچنین علاقمندان می توانند انواع مسایل قابل حل به وسیله ی تکنیک های عددی و مشکلات ناشی از این روش ها را بیاموزند. موارد زیر با فلسفه ی کتاب سازگارند: دادن درکی از روش های عددی، چگونه و چرا این روش ها کار می کنند، و حدود کارایی آنها، درکی که پایه ی استوار برای مطالعات آتی یا پذیرش تکنیک های جدیدتری باشد که در آینده طرح می شوند. برای هر روش مهم در متن، یک الگوریتم مشروح بدون ذکر برنامه ای خاص ارایه گشته است. الگوریتم ها به نحوی عرضه شده اند که حتی یک شاگرد با تجربه ی محدود در برنامه نویسی می تواند آن ها را به دستورات برنامه تبدیل کند. بیان این نکته ضروری است که هیچ برنامه ی عملی در متن درس گنجانده نشده است. هر مفهوم آمده در متن کتاب با مثال توضیح داده شده، و بیش از 700 تمرین در آن وجود دارد. این تمرینات از کاربردهای ساده ی الگوریتم ها تا تعمیم ها و توسیع های پیچیده ی نظریه تغییر می کند. به علاوه، تعداد زیادی مساله ی کاربردی از مباحث مختلف مهندسی و علوم فیزیک، بیولوژی و اجتماعی ارائه شده است.

مرکز نشر دانشگاهی سال 1364

نظریه و کاربردهای آنالیز عددی

نویسندگان: ج.م.فیلیپس – پ.ج.تیلر ، مترجمان: غلامحسین بهفروز – میر کمال میرنیا

در فصل های اولیه این کتاب، به منظور یادآوری و پایه گذاری مطالب بعدی، شمه ای از حساب دیفرانسیل و انتگرال گنجانده و بعد از آن مقدمه ی مختصری بر ماتریس ها آورده شده است. مطالب کتاب از ابتدا به روالی منطقی و مستقل، با تاکید برابر بر روش های عملی و نظری ریاضی ارائه، الگوریتم ها دقیقا" بیان، و عموما" اثبات قضایا نیز آورده شده اند و این بسیار مفید واقع می شود چراکه هر یک دیگری را روشن تر می سازد.برای ارائه ی روشی یکسان در سراسر کتاب، تا حد امکان از تقریب ها استفاده گشته. بنابراین، انواع مختلف تقریب هایی که ارائه شده اند، در فصل های مربوط به حل معادلات جبری غیر خطی، انتگرال گیری عددی و معادلات دیفرانسیل به کار می روند. همچنین برای کمک به خواننده در بالا بردن مهارت ها، تعداد زیادی مثال حل شده آمده است. مسائل آخر هر فصل به منظور آزمونی از میزان درک دانشجویان، و کمکی برای توسعه ی مطالب کتاب می باشد.

نخستین گام ها در آنالیز عددی

نویسندگان: آر.جی.هوسکینگ – دی.سی.جویس – جی.سی.ترنر ، مترجمان: اسماعیل بابلیان – میر کمال میرنیا

هر مبحث اصلی این کتاب به تعدادی گام تقسیم شده است. پنج گام اول به مساله ی خطاهای ناشی از کار عددی اختصاص داده شده است که برای آشنایی صحیح با هنر استفاده از روش های عددی و درک کامل خطاها لازم است. مفاهیم و روش هایی که در مباحث معادلات غیر خطی، دستگاه معادلات خطی، درونیابی، مشتق گیری و انتگرال گیری مورد استفاده قرار می گیرند مربوط به گام های بعدی هستند. در داخل هر گام، ابتدا مفاهیم و روش هایی را که باید فرا گرفته شود، ارائه شده و متعاقبش چند مثال روشن کننده. ضمنا" چند فلوچارت اساسی به صورت یک ضمیمه به کتاب اضافه شده است.

مرکز نشر دانشگاهی سال 1366

مقدمه ای جامع بر هندسه دیفرانسیل

رسم توابع در چند ثانیه

نمونه سوالات امتحانی دانشگاه پیام نور

 نمونه سوالات امتحانی دانشگاه پیام نور 

         مبانی ریاضی پیام نور- نیمسال اول ۷۹-۸۰    صفحات ۱  ۲  ۳  ۴ 

         مبانی ریاضی پیام نور- نیمسال دوم ۷۹-۸۰    صفحات ۱  ۲  ۳  ۴

         مبانی ریاضی پیام نور- نیمسال اول ۸۳-۸۴    صفحات ۱  ۲  ۳  ۴ 

         مبانی ریاضی پیام نور- نیمسال دوم ۸۳-۸۴    صفحات ۱  ۲  ۳  ۴

         مبانی ریاضی پیام نور- نیمسال اول ۸۴-۸۵    صفحات ۱  ۲  ۳

         

         جبر 1 پیام نور- نیمسال اول 81-82    صفحات ۱  ۲  ۳ 

         جبر 1 پیام نور- نیمسال اول 82-83    صفحات ۱  ۲  ۳ 

         جبر 1 پیام نور- نیمسال اول 83-84

         جبر 1 پیام نور- نیمسال دوم 83-84

         جبر 1 پیام نور- نیمسال اول ۸۴-۸۵    صفحات ۱  ۲  ۳  ۴

        

         آنالیز 1 پیام نور- نیمسال اول 82-83  (قالب pdf)

         آنالیز 1 پیام نور- نیمسال دوم 82-83  (قالب pdf)

         آنالیز 1 پیام نور- نیمسال اول ۸۳-۸۴ (قالب pdf)


        منطق ریاضی پیام نور- نیمسال اول ۸۴-۸۵ (فالب pdf)

        فلسفه ریاضی پیام نور- نیمسال اول ۸۴-۸۵ (فالب pdf)


        تاریخ ریاضی پیام نور- نیمسال اول ۸۴-۸۵ (فالب pdf)


       نظریه اعداد پیام نور- نیمسال دوم ۸۲-۸۳ (فالب pdf)

نمونه سوالات دانشگاه علم و صنعت ایران:

ریاضی عمومی ۲ 

نمونه سوال  اول  دوم  سوم   چهارم   پنجم    ششم   هفتم   هشتم   نهم   دهم
                 
                    یازدهم   دوازدهم   سیزدهم   چهاردهم   پانزدهم   شانزدهم   هفدهم  

                    هجدهم   نوزدهم   بیستم   بیست و یکم    بیست و دوم      منبع سوالات

 

آمار و احتمالات

آمار و احتمالات همواره با آزمايش هاي تصادفي درگير هستند. امثال اين آزمايش ها شامل وقوع تصادفات رانندگي ، خطاهاي اندازه گيري ، توليد محصول سالم يا معيوب يك خط توليد و انواع بازي هاي شانسي همچون بيرون كشيدن يك كارت از دسته كارت ها ، پرتاب سكه و پرتاب تاس مي باشد.

مجموعه اي از اصول احتمال گردآوري شده و در قالب PDF قابل دانلود است. موضوعات اين كتابچه عبارتست از:

    1- نظريه مجموعه ها
    2- مفاهيم و تعاريف احتمال
    3- قضاياي پايه اي احتمال

منابع:

[1] راس،شلدون(1994) ،مباني احتمال، ترجمه پارسيان ، همداني، نشر شيخ بهايي – اصفهان 1379

دانلود نسخه قابل چاپ PDF با حجم 117 كيلو بايت

مشتق و کاربرد آن 

مشتق گیری و مشتق پذیری :

در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:

یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی :

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حد گیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:

عکس پیدا نشد

بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:

ارتباط مشتق با علم فیزیک :

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی :

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(دربهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها :

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

 

رسم خم با استفاده از مشتق اول:

وقتی بدانیم که تابعی در هر نقطه از بازه‌ای مشتق دارد، بنابر قضایای مشتق خواهیم دانست که تابع در سراسر آن بازه پیوسته است و نمودارش در آن بازه قطع شدگی ندارد. مثلا نمودارهای توابع مشتقپذیر y=Sin x همانند نمودار چند جمله‌ایها ، هر چه ادامه بیابند قطع نمی‌شوند. نمودارهای y = tan x و y = 1/x² صرفا در نقاطی که توابع مربوط تعریف نشده هستند قطع می‌شوند. بر بازه‌ای که این نقاط را شامل نباشند توابع مزبور مشتق پذیرند؛ و بنابراین پیوسته‌اند و نمودارهایشان قطع شدگی ندارد. اگر بدانیم مشتق تابعی کجا مثبت و کجا منفی و کجا صفر می‌باشد، آنگاه می‌توانیم درباره شکل نمودار آن تابع اطلاعاتی بدست آوریم. با دانستن این مطلب می‌توان مشخص کرد که نمودار در کجا بالا می‌رود ، پایین می‌آید یا مماس افقی دارد.

تایعی چون (y = f(x را سراسر یک بازه Iصعودی می‌گویند. هرگاه با افزایش y , x هم زیاد شود ؛ و در سراسر I نزولی گویند هرگاه با افزایش x و y کاهش یابد. وقتی x در I از چپ به راست حرکت می‌کند نمودار یک تابع صعودی ، خیز بر می‌دارد و نمودار یک تابع نزولی افت می‌کند. صعود یک تابع با مشتقهای مثبت همراه است و نزول تابع با مشتقهای منفی. بنابراین اگر ´f در هر نقطه از یک بازه I مثبت لاشد آنگاه f بر I صعود می کند. و اگر ´f در هر نقطه I منفی باشد، آنگاه f بر I نزول می‌کند. این واقعیتها را به عنوان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن می‌پذیریم. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکمی است که توابع مشتقپذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشند و بر بازه‌هایی نزول می کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشند.

مماسهای افقی:

از آنجا که مشتقی چون ´f در هر بازه I یی که َf تعریف شود دارای ویژگی مقدار میانی است، هر وقت ´f در این بازه تغییر علامت می‌دهد، باید مقدارش صفر شود. پس هر وقت َf در بازه I تغییر علامت می‌دهد نمودار f باید مماس افقی داشته باشد. اگر وقتی x از چپ به راست می‌رود و از نقطه‌ای چون C می‌گذرد، مقدار ´f از مثبت به منفی تبدیل شود، آنگاه مقدار f در c یک مقدار Max موضعی f است. به همین ترتیب اگر وقتی x از از چپ به راست حرکت می‌کند و از نقطه‌ای چون d می‌گذرد. مقدار ´f از منفی به مثبت تبدیل شود. مقدار f در d یک مقدار Min موضعی f است. *نمی‌توان گفت که هر وقت مشتق صفر شد الزاما تغییر علامت در نمودار تابع ایجاد می‌شود، بنابراین گاهی اوقات در حالی که Min , Max وجود ندارند مماس افقی وجود دارد، مثل تابع y = x³ با اینکه y´= 3x² در مبدأ صفر است و در هر دو طرف مثبت است. با این همه مماس افقی y=0 نمودار y = x³ را در مبدأ قطع می‌کند.

تقعر و نقطه عطف:

در این قسمت چگونگی رسم دقیق‌تر نمودار با استفاده از علامت مشتق دوم تابع را تشریح می‌کنیم. همان طور که می‌دانیم تابع y = x³ (برای خودتان رسم کنید) همراه با افزایش x صعود می‌کند. اما قسمتی از خم که مربوط به بازه (0, ∞-) و قسمت مربوط به (∞و0) در جهتهای متنفاوتی می‌پیچیند، اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدأ برویم پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدأ دور می‌شویم، خم به سمت چپ می‌پیچد. توصیف پیچش به طریق دیگر این است که وقتی نقطه تماس از سمت چپ به مبدأ میل می‌کند مماس بر خم در جهت ساعت می‌چرخد، در این حالت شیب خم تقلیل می‌یابد. وقتی نقطه تماس از مبدأ وارد ربع اول می‌شود، مماس در خلاف جهت ساعت می‌چرخد. در این حالت می‌گوییم شیب خم زیاد شده است. بنابراین برای یافتن روی تقعر توسط مشتق باید بگوییم در بازه‌ای که ´y کم می‌شود تقعر رو به پایین دارد و در بازه‌ای که ´y زیاد می‌شود تقعر رو به بالا دارد. توسط آزمون مشتق دوم می‌توانیم بگوییم در نمودار (y = f(x ، در بازه‌ای که مشتق دوم y کوچکتر از صفر باشد، تقعر رو به پایین دارد. در بازه ای که مشتق دوم y بزرگتر از صفر باشد، تقعر رو به بالا دارد.

کاربرد نقطه عطف در رسم توابع :

نقطه‌ای از خم که در آن تقعر عوض می‌شود نقطه عطف داریم. پس نقطه عطف خمی که دو بار مشتق پذیر است نقطه‌ای است در یک طرفش مثبت و در طرف دیگرش منفی است و خود مشتق دوم y در نقطه عطف مقدار صفر دارد. البته ممکن است مشتق دوم y در نقطه‌ای که عطف نیست صفر باشد. همچنین ممکن است نقطه عطف در جایی باشد که مشتق دوم y وجود نداشته باشد.

مجانبها و تقارن :

در این قسمت توابع گویا از x را با در نظر گرفتن رفتارشان ، وقتی مخرج به صفر نزدیک یا x از لحاظ عددی بزرگ می‌شود، بررسی می کنیم. نمودار تابع های زوج وفرد تقارنهایی دارند که آگاهی از آنها برای ترسیم نمودارشان مفید و مهم است.

• باید این را بدانیم که نمودار توابع زوج نسبت به محور yها متقارن است و نمودار توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن می‌باشد.

مجانبهای افقی و قائم :

وقتی یک نقطه p روی نمودار تابعی چون (y = f(x رفته رفته از مبدأ دور می‌شود، ممکن است فاصله بین p و خطی ثابت به صفر نزدیک شود؛ به عبارت دیگر ، خم وقتی از مبدأ دور می‌شود به خط میل کند. در این حالت ، خط را مجانب نمودار می‌نامند.


خط y = b مجانب افقی نمودار (y = f(x است اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت بینهایت و یا منفی بینهایت میل می‌کند برابر با b شود.


خط x = a مجانب قائم نمودار تابع است، اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت a^- و یا a⁺ میل می‌کند برابر با ∞± شود.

مجانب مایل :

اگر تابع گویایی خارج قسمت دو چند جمله‌ای باشد که عامل مشترک نداشته باشند و اگر درجه صورت ، یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد، آنگاه نمودار یک مجانب مایل دارد. و بطور کلی برای رسم نمودار یک تابع باید مجانبها ، تقعرها ، نقاط عطف ، مماسها ، نقاط اکسترمم باید مشخص باشند.

کاربردها :

رسم توابع مورد بحث ما در جاهای بسیار وسیع کاربرد دارد. برای مثال پرتاب یک موشک یا یک سفینه با بدست آوردن توابع مربوط و رسم نمودار آ«ها توسط کامپیوتر قبل از عملیات پرتاب توسط مهندسین مورد بررسی قرار میگیرد تا نحوه حرکت و سایر موارد مو شکافی گردد. در ستاره شناسی ، مکانیک ، شیمی و حتی علوم انسانی رسم نمودار توابع از ارزش اجتناب ناپذیری برخوردار است.

اکسترمم:

اگر تابع در فاصله ی تعریف شده باشد، آنگاه نقطه ی از نقاط داخلی این فاصله رایک نقطه ی ماکزیمم (یا یک نقطه ی مینیمم) تابع گویند، اگر همسایگی این نقطه مانند وجود داشته باشد به طوری که برای هر در این فاصله، نامساوی (یا ) برقرار باشد. نقاط ماکزیمم و مینیمم تابع را نقاط حد نهایی یا نقاط اکسترمم تابع می گویند.

---

 

شرط لازم وجود اکسترمم :

در نقاط اکسترمم مشتق صفر است و یا وجود ندارد.
توجه: نقاطی که در آن ها یا وجود نداشته باشد را نقاط بحرانی گویند.

---

 

شرط های کافی وجود اکسترمم :

1. چنانچه تابع در همسایگی از پیوسته باشد:
   1. اگر وقتی ، و وقتی ، (یعنی زمانی که از طرف چپ به طرف راست نقطه ی حرکت کنیم، علامت مشتق از مثبت به منفی تبدیل شود)، آنگاه نقطه ی ماکزیمم است.
   2. اگر وقتی ، و وقتی ، (یعنی در حرکت از طرف چپ به طرف راست نقطه ی ، علامت مشتق از منفی به مثبت تبدیل شود)، آنگاه را نقطه ی مینیمم گویند.
   3. اگر علامت مشتق در دو طرف نقطه ی ثابت بماند، آنگاه این نقطه اکسترمم نیست.
2. چنانچه تابع در نقطه ی بحرانی دوبار مشتق داشته باشد، اگر ، آنگاه تابع در نقطه ی ماکزیمم دارد و اگر ، آنگاه مینیمم تابع است ولی اگر ، در این حالت موجودیت اکسترمم در نقطه ی مذکور معلوم نیست.
3. جنانجه ولی ، اگر زوج باشد، آنگاه وقتی تابع در ماکزیمم است و وقتی تابع در این نقطه مینیمم است. حال اگر فرد باشد، آنگاه در نقطه ی اکسترمم وجود ندارد.
4. چنانچه تابع با معادلات پارامتری مشخص شده باشد که در آن در فاصله ی تغییرات متغییر مشتقات مرتبه ی اول و دوم دارند و ، به علاوه در ، آنگاه:
   1. اگر آنگاه تابع در ماکزیمم دارد.
   2. اگر آنگاه تابع در مینیمم دارد.
   3. اگر ، در این حالت موجودیت اکسترمم در این نقطه معلوم نیست.

---

محاسبه ی بیشترین و کمترین مقدار تابع :

بیشترین (یا کمترین) مقدار تابع پیوسته ی در فاصله ی یا در نقاط بحرانی و یا در نقاط انتهایی فاصله است. برای تعیین بیشترین (یا کمترین) مقدار تابع، مقدار آن در تمام نقاط بحرانی واقع در فاصله ی ، و مقادیر را حساب می کنیم و سپس بیشتری (یا کمترین) مقدار بین آن ها را انتخاب می کنیم.
اگر فاصله ای که تابع در آن تعریف شده است فاصله ی باز باشد، ممکن است تابع بیشترین (یا کمترین) مقدار نداشته باشد.