در150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی درجهات مختلف داشته.شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد

بررسی شده اند در اینجا ممکن نیست.این مبحث بسیار وسیع است و در بعضی قسمتها نیاز به دانستن مطالب عمیقی از

ریاضیات پیشرفته (مثل نظریه گالوا و آنالیز در سطح بالا ) دارد. با اینحال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط میشوند .

در نوشته ی قبلی اعداد کوچکتر از 500 ذکر شده اند .در 1914 ریاضیدان آمریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود6.5 درصد.همچنین دی اچ لمر(پسر دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را حساب

کرد 455052512.حدوداً 4.5 درصد .

بررسی دقیق اعداد اول نشان می دهد که توزیع بسیار نامنظمی دارند . به آسانی ثابت میشود که شکافهای به اندازه ی دلخواه  بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان میدهد که اعداد اول متوالی ، نظیر 3و5 یا 101و103 همین طور تکرار میشوند جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است اعداد اول دو قلو نامیده میشوند بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000  بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند این مسئله که آیا بینهایت تا از این اعداد وجود دارد یا نه هنوز حل نشده است.

 

سلام  اين اعدادي كه ميبينيد ۵۰۰ تا عدد اول هستش. همينطور كه ميدونيد اعداد اول خيلي پيچيده هستند مثلا شكافهايي به اندازه دلخواه در آنها وجود دارد

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211,223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449,457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,577,587,593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677,683,691, 701, 709,719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853,857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953,967, 971, 977, 983,991,997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097,1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217,1223,1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319,1321,1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451,1453,1459,1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571,1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693,1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811,1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949,1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017,2027, 2029, 2039, 2053, 2063,2069,2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137,2141, 2143, 2153, 2161, 2179,2203,2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269,2273,2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311,2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377,2381,2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417,2423,2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557,2579,2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689,2693,2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797,2801,2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917,2927,2939,2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079,3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217,3221,3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343,3347,3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469,3491,3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571.

چهل و سومین عدد اول مرسن کشف شد.

در15 دسامبر 2005،بزرگترین عدد اول مرسنی که تا کنون شناخته شده است،کشف گردید. این عدد تقریبا نه میلیون و 150هزار رقمی که به صورت 1-230402457    می باشد و توسط تیمی از دانشگاه میسوری مرکزی ،کشف گردید.

شرکت Frontier foundations  ، براي کشف عدد اول مرسنی كه بیش از 10 میلیون رقم داشته باشد،

 جایزه ای 100000 دلاری تعيين كرده است با این حال این جایزه هنوز دور از دسترس مانده است

 به عددی طبیعی تام میگویند هر گاه مجموع مقسوم علیه های آن برابر دو برابر آن عدد باشند مثلا ۶ تام است

البته می توان ثابت کرد که اگر عددی تام باشد آنگاه مجموع معکوسهای مقسوم علیه های آن عدد برابر ۲ باشد (خیلی ساده هستش خودتون ثابت کنید

گروه سه نفر رياضي دانان هندي براي غلبه بر مشكل به هر دري زدند و با بررسي مقالات مختلف بالاخره دريافتند كه در سال ‪ ۱۹۸۵يك رياضي‌دان فرانسوي به نام اتن فووري از دانشگاه پاريس ‪ ۱۱اين نكته را به صورت رياضي اثبات كرده است. به اين ترتيب آخرين بخش معما حل شد و آلگوريتم پيشنهادي اين سه نفر با موفقيت پا به عرصه گذارد.

اما اين موفقيت "مشروط" بود. به اين معني كه اين روش براي اعداد اولي كه انسان در حال حاضر مي‌توان به سراغ آنها برود از كارآيي چنداني برخوردار نيست. در روايت اوليه روش پيشنهادي، زمان لازم براي محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲ازدياد پيدا مي كرد.

در روايتهاي بهبود يافته اخير اين روش، سرعت ازدياد زمان لازم براي محاسبات به ‪ ۱۰۷.۵كاهش يافته اما حتي در اين حالت نيز اين روش در مقايسه با روش آ پي آر تنها در هنگامي موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولي كه قصد شكار و يافتن آن را داريم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰باشد.

اعدادي تا اين اندازه بزرگ در حافظه هيچ كامپيوتر جاي نمي‌گيرند و حتي آن را نمي‌توان در كل كيهان جاي داد.

اما حال كه رياضي دانان توانسته‌اند يك طبقه خاص از آلگوريتمهاي تواني را براي شناسايي اعداد اول مشخص كنند، اين امكان پديد آمده كه به دنبال نمونه‌هاي بهتر اين روش بگردند. پومرانس و هندريك لنسترا از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي با تلاش در همين زمينه توانسته‌اند زمان لازم براي محاسبات را از توان ‪ ۷.۵به توان ‪ ۶كاهش دهند.

اين دو از همان استراتژي كلي گروه هندي موسسه كانپور استفاده كردند اما تاكتيهاي ديگري را به كار گرفتند.

اگر فرضيه‌هاي ديگري كه درباره اعداد اول مطرح شده درست از كار درآيد آنگاه مي‌توان زمان محاسبه را از توان ‪ ۶به توان ‪ ۳تقليل داد كه در اين حد اين روش كارآيي عملي پيدا خواهد كرد.

در اين حالت يافتن اعداد اول با ‪ ۱۰۰۰رقم يا بيشتر به بازي كودكان بدل خواهد شد.

اما در نظر رياضي‌دانان مهمترين و جالبترين جنبه كار گروه سه نفره آ ك اس (كانپ.ر) روشي است كه آنان به كار گرفته‌اند.

اعداد اول براي رياضيات از اهميت بنيادين برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ويژگيهاي آنها باعث مي‌شود خللهاي بزرگ در بناي رياضيات پديدار شود.

روش اين سه رياضي دان هندي هرچند اين خللها و نقصها را پر نكرده حداقل به رياضي دانان گفته است كه در كجا به دنبال اين خللها بگردند.

آلگوريتم پيشنهادي اين سه محقق و همه انواع بديلي كه بر اساس آن ساخته شده متكي به وجود اعداد اولي با مشخصه هاي ويژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از اين روش مستلزم آن است كه رياضي دانان اطلاعات دقيقي از نحوه توزيع اين قبيل اعداد اول خاص در ميان ديگر اعداد به دست آورند و به اين ترتيب جغرافياي مكاني اعداد اول را مشخص سازند.

روش پيشنهادي آ ك اس به رياضي دانان اين نكته را آموخته كه ويژگيهاي اين جغرافياي مكاني حائز اهميت است و نيز اين كه هنوز دانش كافي در اين زمينه به دست نيامده است.

در گذشته و در زماني كه نظريه اعداد تنها مورد توجه يك گروه كوچك از رياضي دانان بود ، اين مساله چندان اهميتي نداشت. اما در ‪ ۲۰سال گذشته اعداد اول موقعيتي استثنايي در عرصه رمز نگاري و دانش طراحي و شكستن رمزها كسب كرده اند.

رمزها صرفا از نظر نظامي و جاسوسي حائز اهميت نيستند بلكه از آنها در عرصه هاي تجاري و نيز فعالييتهاي اينترنتي در مقياس وسيع استفاده به عمل مي‌آيد. هيچ كس نمي‌خواهد كه راهزنان اينترنتي به اطلاعات شخصي مربوط به حسابهاي بانكي يا شماره كارتهاي اعتباري آنان دست يابد.

هم اكنون دزدي مشخصات شناسنامه اي افراد و جعل هويت آنان به صورت يكي از بزرگترين قلمروهاي فعالييتهاي تبهكارانه در سطح بين‌المللي در آمده است.

سازندگان كامپيوترها و ارائه‌دهندگان خدمات اينترنتي با توجه به آنكه در حال حاضر افراد بسياري از فعاليتهاي خود را از طريق اينترنت انجام مي دهند، نظير اينكه پول قبضهاي برق و آب و تلفن خود را مي‌پردازند يا در كلاسهاي مورد نظر ثبت نام مي‌كنند، يا بليت هواپيما و قطار رزرو مي‌كنند، در تلاشند تا از خطر دستيابي تبهكاران به اطلاعات شخصي افراد جلوگيري به عمل اورند.

يكي از مهمترين سيستمهايي كه در اين زمينه مورد استفاده صنايع است سيستم آر اس آ نام دارد كه متكي به اعداد اول است.

اعداد اول مورد استفاده در اين سيستم در حدود ‪ ۱۰۰رقمي هستند. سيستم آر اس آ در بسياري از سيستمهاي كامپيوتري مورد استفاده قرار دارد و در پروتكل اصلي براي ارتباطات امن اينرتنتي نيز گنجانده شده است و بسياري از دولتها، شركتهاي بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده مي‌كنند. جواز استفاده از اين سيستم براي بيش از ‪ ۷۰۰شركت صادر شده و بيش از نيم ميليون كپي از آن در سطح جهاني مورد استفاده قرار دارد.

براي شكستن رمز آر اس آ بايد مضراب اعداد ‪ ۲۰۰رقمي يا بزرگتر را پيدا كنيد. هرچند فاكتور گيري يا عامل مشترك گيري از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما اين دو مساله با يكديگر ارتباط دارند و رياضي دانان از يك ابزار براي حل هر دو مساله استفاده مي‌كنند.

همه اين جنبه‌ها بر اهميت كشف هر روشي براي محاسبه اعداد اول مي‌افزايد.

در سال ‪ ۱۹۹۵زماني كه پيتر شور از آزمايشگاههاي بل اثبات كرد كه مجموعه- اي از آلگوريتمهاي تواني براي فاكتور گيري وجود دارد، لرزه بر اندام بسياري افتاد.

اما خوشبختانه براي استفاده از اين آلگوريتم به كامپيوترهاي كوانتومي نياز است كه هنوز در مرحله تكميل تئوريك قرار دارند.

اكنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سيستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اكنون اين نكته را نشان داده كه مي‌توان با كامپيوتر هاي معمولي، اعداد را از حيث اول بودن مورد آزمايش قرار داد.

سوالي كه اينك مطرح شده آن است كه آيا الگوريتم مشابهي كه به صورت تواني كار كند براي فاكتورگيري اعداد غيراول نيز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به اين پرسش منفي است اما متاسفانه اين متخصصان همين حرف را در مورد آلگوريتم تواني مربوط به اعداد اول نيز مي‌زدند
در حال حاضر رياضي دانان واقعا مطمئن نيستند كه كه آيا چنين آلگوريتمي يافت مي‌شود يا نه.

اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سيستم آر اس آ ديگر از امنيت برخوردار نيست.

يك عامل تخفيف‌دهنده نگرانيها آن است كه از سيستم آر اس آ براي انتقال همه محتواي پيامها استفاده نمي‌شود بلكه صرفا "كليد هاي رمز" را كه اندازه شان كوچك است با اين سيستم انتقال مي‌دهند.

براي انتقال بقيه پيام از روشهاي رمزنگاري متعارف بهره گرفته مي‌شود. به اين ترتيب جاسوسان در صدد برخواهند آمد كه به كليد رمزها دست يابند.

به اين ترتيب درسي كه از موفقيت گروه سه نفره هندي گرفته مي‌شود آن است كه بايد با احتياط در ارسال پيامها عمل كرد. اگر اكتشافات مشابه آنچه گروه كانپور بدست اورده تكرار شود، انگاه ديگر نمي‌توان به ايمن بودن ارتباطاتي كه روي اينترنت برقرار مي‌شود اطمينان داشت.